テンソルを用いたナビエストークス方程式の導出

テンソルを使ってナビエストークス方程式の導出手順についてメモします．

①
応力テンソル＝圧力＋粘性応力テンソル
応力テンソルの対角成分は面に垂直にかかる力なので応力テンソルのトレースの平均を圧力とする(外向き正)
つまり，応力テンソル＝平均応力テンソル＋偏差応力テンソルを考えている

$$
\mbox{応力テンソル　}\sigma= \left(
    \begin{array}{ccc}
      -p & 0 & 0 \\
      0 & -p & 0 \\
      0& 0 & -p
    \end{array}
  \right) +\mbox{粘性応力テンソル　}\tau
$$

②
ニュートン流体は偏差応力テンソル（粘性応力テンソル，せん断応力)が変形速度テンソル(ひずみ率テンソル)の線形結合で表せる　（剛体回転するときの応力は圧力のみ）

速度勾配テンソル${\bm{l}}$
$$ l_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j} $$
直交分解する
$ {\bm{d}} $を変形速度テンソル(ひずみ速度)，${\bm{w}}$を回転速度テンソル（スピンテンソル）として$$ {\bm{d}}=\frac{{\bm{l}}+{\bm{l}}^t}{2} $$
成分は
$$ d_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) $$

となり$$ {\bm{w}}=\frac{{\bm{l}}-{\bm{l}}^t}{2} $$である
$ {\bm{d}} $は引き延ばしを，${\bm{w}}$ は回転を表す

流体は座標変換しても変わらないという等方性を仮定すると，変形速度テンソルの係数は4階の等方テンソルで表せる
4階の等方テンソル$ A $は次の形でかける
$$ A_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu_1\delta_{ik}\delta_{jl}+\mu_2\delta_{il}\delta_{jk} $$
変形速度テンソルは対称なので
$$\tau_{ij}=A_{ijkl}d_{kl}$$
$$=\lambda \delta_{ij}d_{kk}+(\mu_1+\mu_2) d_{ij}$$
$$=\lambda \delta_{ij}d_{kk}+2\mu d_{ij}$$
\begin{equation}=\lambda \delta_{ij}(d_{11}+d_{22}+d_{33})+2\mu d_{ij}\end{equation}
とかける
偏差応力テンソルのトレース＝０なので$$ \tau_{11}+\tau_{22}+\tau_{33}=0$$
から(1)をつかって
$$(3\lambda+2\mu)\mbox{div}{\bm{u}}=0  $$
よってストークスの仮定を使うときは$$\lambda=-\frac{2}{3}\mu$$とおく
以上より応力テンソルは
$$\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}-\frac{2}{3}\mu\delta_{ij}\mbox{div}{\bm{u}}+\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$
非圧縮なら連続の式から$ div u=0 $なので
$$\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$となる

コーシーの運動方程式から(もしくはテンソルの力の向きを考えて)x成分を考えると
$$\rho \frac{Du_x}{Dt}=f_{x}+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z}$$
$$=f_{x}+\frac{\partial}{\partial x}(-p+2\mu\frac{\partial u_x}{\partial x}-\frac{2}{3}\mu\mbox{div}{\bm{u}})+\mu\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y})+\mu\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z})$$

$$ =f_{x}-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})u_x+\frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial x}\mbox{div}{\bm{u}}$$

よって導けた
非圧縮の場合はdiv u=0なので
$$\rho \frac{D{\bm{u}}}{Dt}={\bm{f}}-\nabla p+\mu \nabla^2 {\bm{u}} $$