ラグランジュ補間による差分法の2次精度微分

ラグランジュ補間による差分法の2次精度微分


関数$ f $の数値微分$f'(x_1)$を行う方法のメモ．

$$ (x_0,f_0),(x_1,f_1),(x_2,f_2)$$
が分かるとする($x_0<x_1<x_2$, $ f_0,f_1,f_2$は定数)

上記3点を通る2次関数は
$$g= f_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+f_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+f_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$
である．代入すると自明である．
$$\Delta x_0=x_1-x_0, \Delta x_1=x_2-x_1$$
とおく．
$g$を微分して$x=x_1$を代入すると
$$ f'(x_1)\approx g'(x_1)$$であり，
$$g'(x_1)=-f_0\frac{\Delta x_1}{\Delta x_0(\Delta x_0+\Delta x_1)}+f_1\frac{(\Delta x_1-\Delta x_0)}{\Delta x_0\Delta x_1} +f_2\frac{\Delta x_0}{\Delta x_1(\Delta x_0+\Delta x_1)}$$
\begin{equation}=\cfrac{f_2(\Delta x_0)^2-f_0(\Delta x_1)^2+f_1((\Delta x_1)^2-(\Delta x_0)^2)}{\Delta x_0 \Delta x_1(\Delta x_0+\Delta x_1)}\end{equation}
となる　これが2次精度の公式である．

次に2次精度であることを確認する．
テイラー展開をして
$$f_2=f_1+\Delta x_1(f'(x_1))+\frac{(\Delta x_1)^2}{2!}f''(x_1)+\mathcal{O}((\Delta x_1)^3)$$
$$f_0=f_1-\Delta x_0(f'(x_1))+\frac{(\Delta x_0)^2}{2!}f''(x_1)+\mathcal{O}((\Delta x_0)^3)$$

これらを(1)に代入する
(1)の分子は
$$ f_1(\Delta x_0)^2+\Delta x_1(\Delta x_0)^2(f'(x_1))+\frac{(\Delta x_1)^2 (\Delta x_0)^2}{2!}f''(x_1)+\mathcal{O}((\Delta x_1)^3(\Delta x_0)^2)-f_1(\Delta x_1)^2+\Delta x_0(\Delta x_1)^2(f'(x_1))-\frac{(\Delta x_0)^2(\Delta x_1)^2}{2!}f''(x_1)-\mathcal{O}((\Delta x_0)^3(\Delta x_1)^2)+f_1((\Delta x_1)^2-(\Delta x_0)^2)
$$
$$=\Delta x_0\Delta x_1(\Delta x_0+\Delta x_1)(f'(x_1))+\mathcal{O}\left((\Delta x_0)^2(\Delta x_1)^2(\Delta x_1+\Delta x_0)\right)$$
よって
$$(1)=f'(x_1)+\mathcal{O}\left(\Delta x_0\Delta x_1\right)$$

なので2次精度を満たす！