三次元空間における平均曲率は単位法線ベクトルの発散となることの概要

$$ \bm{p}=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) $$
を考える
$ (u,v)=(a,b) $における接平面は
$$ \bm{p}_u(a,b),\bm{p}_v(a,b) $$が張る平面となるので$(a,b)$における単位法線ベクトルは
$$ \bm{e}=\cfrac{\bm{p}_u(a,b)\times\bm{p}_v(a,b)}{|\bm{p}_u(a,b)\times\bm{p}_v(a,b)|} $$

曲率の定義
弧長変数$s$をもちいて$\bm{p}''(s)$の長さを曲率とする
曲面の法ベクトル方向の$\bm{p}''(s)$の長さを法曲率とする

$ \bm{p}_0 $から出る接平面上のベクトルをとると、ベクトルのとり方は$ \bm{p}_0 $を360度囲むように単位円上にとり方があるので、ベクトルのとり方に寄る法曲率の最大値と最小値の平均を平均曲率とする。接平面上のベクトルを選ぶ上では長さが同じという条件が必要であり、ラグランジュの未定乗数法を用いることが出来る。

$$ \frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\cfrac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}$$
となる。これは
$$ \frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\cfrac{(p_u\cdot p_u)(p_{vv}\cdot e) +(p_v\cdot p_v)(p_{uu}\cdot e)-2(p_u\cdot p_v)(p_{uv}\cdot e)}{2((p_u\cdot p_u)(p_v\cdot p_v)-(p_u\cdot p_v)^2)}$$

また、$$|\bm{p}_u(a,b)\times\bm{p}_v(a,b)|^2=|\bm{p}_u(a,b)|^2|\bm{p}_v(a,b)|^2\sin^2\theta$$
$$ =|\bm{p}_u(a,b)|^2|\bm{p}_v(a,b)|^2-(\bm{p}_u(a,b)\cdot\bm{p}_v(a,b))^2 $$
を$ X^2 $とすると、
$$ \nabla\cdot \bm{e}=$$